群论基础

796阅读 0评论2009-06-09 wqfhenanxc_cu
分类:网络与安全

一、群定义

群是一个 G,连同一个 "•",它结合了任何两个 ab 而形成另一个元素指示,记为 ab。符号 "•" 是对具体给出的运算,比如上面加法的一般的占位符。要具备成为群的资格,这个集合和运算 (G, •) 必须满足叫做群公理的四个要求:

1. 闭合。 对于所有 Ga, b,运算 ab 的结果也在 G 中。
2. 结合律。 对于所有 G 中的 a, bc,等式 (ab) • c = a • (bc) 成立。
3. 单位元。 存在 G 中的一个元素 e,使得对于所有 G 中的元素 a,等式 ea = ae = a 成立。
4. 逆元。 对于每个 G 中的 a,存在 G 中的一个元素 b 使得 ab = ba = e,这里的 e 是单位元。

进行群运算的次序可以是重要的。换句话说,把元素 a 与元素 b 结合,所得到的结果不一定与把元素 b 与元素 a 结合相同;等式

ab = ba

不一定成立。这个等式在整数于加法下的群中总是成立,因为对于任何两个整数都有 a + b = b + a(加法的)。但是在下面的对称群中不总是成立。使等式 ab = ba 总是成立的群叫做(以命名)。因此,整数加法群是阿贝尔群,但下面的对称群不是。

二、整数加法群

最常见的群之一是集 Z,它由以下数组成:

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

下列整数的性质,可以作为抽象的群公理的模型。

  1. 对于任何两个整数 ab,它们的 a + b 也是整数。换句话说,在任何时候,把两个整数相加都不能得出不是整数的结果。这个性质叫做在加法下。
  2. 对于任何整数 a, bc,(a + b) + c = a + (b + c)。用话语来表达,先把 a 加到 b,然后把它们的和加到 c,所得到的结果与把 a 加到 bc 的和是相等的。这个性质叫做。
  3. 如果 a 是任何整数,那么 0 + a = a + 0 = a。叫做加法的,因为把它加到任何整数都得到相同的整数。
  4. 对于任何整数 a,存在另一个整数 b 使得 a + b = b + a = 0。整数 b 叫做整数 a 的,记为 −a
三、正方形对称群

正方形的(比如和)形成了一个群,叫做并记为 D4 二面体群中有下列对称:


id (保持原样)

r1 (向右旋转 90°)

r2 (向右旋转 180°)

r3 (向右旋转 270°)

fv (垂直翻转)

fh (水平翻转)

fd (对角翻转)

fc (反对角翻转)
正方形的对称群(D4)的元素。对顶点进行着色和编号只是把这些运算形象化。
  • 保持所有东西不变,记为 id;
  • 把正方形向右(顺时针)旋转 90°、180° 和 270°,分别记为 r1、r2 和 r3
  • 关于垂直和水平中线的反射记为 fv 和 fh,关于两个的反射记为 fd 和 fc

任何两个对称 ab 都可以,就是说进行一个之后再进行另一个。先进行 a 然后进行 b 在符号上“从右到左”写为

ba (“进行对称 a 之后再进行对称 b”。从右到左的概念来源于)。

右面的列出了这种复合的所有可能结果。例如,右旋 270°(r3) 然后水平翻转(fh),等于进行一个沿对角线的反射 (fd)。使用上述符号,在群表中用蓝色突出:

fh • r3 = fd
D4 的群表
id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
元素 id、r1、r2 和 r3 形成一个,用红色突出。这个子群的左和右分别用绿色和黄色突出。

给定这个对称的集合和描述的运算,群公理可以理解如下:

  1. 闭合公理要求任何两个对称 ab 的复合 ba 仍是对称。另一个群运算的例子是
    r3 • fh = fc
    就是说在水平翻转后右旋 270°等于沿反对角线翻转 (fc)。确实,两个对称的所有其他组合仍得出一个对称,这可以使用群表来检查。
  2. 结合律的限制处理多于两个对称的复合: 给定 D4 的三个元素 abc,有两种方式计算“a 接着 b 接着 c”。
    (ab) • c = a • (bc)
    的要求,意味着三个元素的复合与先进行哪个运算是无关的。 例如, (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) 可以使用右侧的群表来检查。
  3. 单位元是保持所有东西不变的对称 id:对于任何对称 a,进行 a 然后进行 id(或进行 id 然后进行 a)等于 a,用符号表示为
    id • a = a
    a • id = a
  4. 逆元素撤销某个其他元素的变换。所有对称都是可以撤销的: 恒等 id,翻转 fh、fv、fd、fc 和 180°旋转 r2 这些变换都是自身的逆元,因为把它们进行两次就把正方形变回了最初的样子。旋转 r3 和 r1 相互是逆元,因为按一个方向旋转再按另一个方向旋转相同角度保持正方形不变。用符号表示为
    fh • fh = id
    r3 • r1 = r1 • r3 = id

与上述的整数群不同的是,在整数群中运算次序是无关紧要的,而在 D4 中则是重要的:fh • r1 = fc 然而 r1 • fh = fd。换句话说,D4 不是阿贝尔群,这使得这个群的结构比上面介绍的整数群要更加复杂。

四、循环群


    定义:为群,若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成,则称该群为循环群,元素a称为循环群G的生成元。
由群内的一个元素所生成的群均为循环群,而且是此群的。当群G内含有g的唯一子群为G本身时,可证明G是循环群。

例如,若G = { e, g1, g2, g3, g4, g5 }, 则G为循环的,且G于 6 的加法群:{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}}。

对于每一个正整数 n ,都存在唯一一个(在的意义上)为此正整数 n 的循环群,或者说,所有的 n 阶循环群都和模 n 的同余类构成的加法群Z/nZ同构。如果一个循环群的阶是无限的,那么它同构于整数关于加法构成的群。因此,循环群已被完全分类,是最简单的一种群。

每一个循环群都模n的加法群:{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2},...,  \overline{n-1}或整数的加法群Z。因此,要了解循环群的一般性质,只需要看这些群有什么性质就可以了。所以,循环群是最容易去学习的群,且有许多的良好性质。设G是一个n(n可能是无限的,代表同构于整数)阶的循环群,gG中一个元素,则:

例如,当n=6时有Zn× = { 1, 5},而当n=8时则有Zn× = {1,3,5,7}。

因此,Zn×n=6时是循环的,但在n=8时则不是,而转而会同构于。


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