一、群定义
群是一个 G,连同一个 "•",它结合了任何两个 a 和 b 而形成另一个元素指示,记为 a • b。符号 "•" 是对具体给出的运算,比如上面加法的一般的占位符。要具备成为群的资格,这个集合和运算 (G, •) 必须满足叫做群公理的四个要求:
-
1. 闭合。 对于所有 G 中 a, b,运算 a • b 的结果也在 G 中。 2. 结合律。 对于所有 G 中的 a, b 和 c,等式 (a • b) • c = a • (b • c) 成立。 3. 单位元。 存在 G 中的一个元素 e,使得对于所有 G 中的元素 a,等式 e • a = a • e = a 成立。 4. 逆元。 对于每个 G 中的 a,存在 G 中的一个元素 b 使得 a • b = b • a = e,这里的 e 是单位元。
进行群运算的次序可以是重要的。换句话说,把元素 a 与元素 b 结合,所得到的结果不一定与把元素 b 与元素 a 结合相同;等式
- a • b = b • a
不一定成立。这个等式在整数于加法下的群中总是成立,因为对于任何两个整数都有 a + b = b + a(加法的)。但是在下面的对称群中不总是成立。使等式 a • b = b • a 总是成立的群叫做(以命名)。因此,整数加法群是阿贝尔群,但下面的对称群不是。
二、整数加法群
最常见的群之一是集 Z,它由以下数组成:
- ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
下列整数的性质,可以作为抽象的群公理的模型。
- 对于任何两个整数 a 和 b,它们的 a + b 也是整数。换句话说,在任何时候,把两个整数相加都不能得出不是整数的结果。这个性质叫做在加法下。
- 对于任何整数 a, b 和 c,(a + b) + c = a + (b + c)。用话语来表达,先把 a 加到 b,然后把它们的和加到 c,所得到的结果与把 a 加到 b 与 c 的和是相等的。这个性质叫做。
- 如果 a 是任何整数,那么 0 + a = a + 0 = a。叫做加法的,因为把它加到任何整数都得到相同的整数。
- 对于任何整数 a,存在另一个整数 b 使得 a + b = b + a = 0。整数 b 叫做整数 a 的,记为 −a。
正方形的(比如和)形成了一个群,叫做并记为 D4。 二面体群中有下列对称:
id (保持原样) |
r1 (向右旋转 90°) |
r2 (向右旋转 180°) |
r3 (向右旋转 270°) |
fv (垂直翻转) |
fh (水平翻转) |
fd (对角翻转) |
fc (反对角翻转) |
正方形的对称群(D4)的元素。对顶点进行着色和编号只是把这些运算形象化。 |
-
- 保持所有东西不变,记为 id;
- 把正方形向右(顺时针)旋转 90°、180° 和 270°,分别记为 r1、r2 和 r3。
- 关于垂直和水平中线的反射记为 fv 和 fh,关于两个的反射记为 fd 和 fc。
任何两个对称 a 和 b 都可以,就是说进行一个之后再进行另一个。先进行 a 然后进行 b 在符号上“从右到左”写为
- b • a (“进行对称 a 之后再进行对称 b”。从右到左的概念来源于)。
右面的列出了这种复合的所有可能结果。例如,右旋 270°(r3) 然后水平翻转(fh),等于进行一个沿对角线的反射 (fd)。使用上述符号,在群表中用蓝色突出:
- fh • r3 = fd
• | id | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
id | id | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc |
r1 | r1 | r2 | r3 | id | fc | fd | fv | fh |
r2 | r2 | r3 | id | r1 | fh | fv | fc | fd |
r3 | r3 | id | r1 | r2 | fd | fc | fh | fv |
fv | fv | fd | fh | fc | id | r2 | r1 | r3 |
fh | fh | fc | fv | fd | r2 | id | r3 | r1 |
fd | fd | fh | fc | fv | r3 | r1 | id | r2 |
fc | fc | fv | fd | fh | r1 | r3 | r2 | id |
元素 id、r1、r2 和 r3 形成一个,用红色突出。这个子群的左和右分别用绿色和黄色突出。 |
给定这个对称的集合和描述的运算,群公理可以理解如下:
- 闭合公理要求任何两个对称 a 和 b 的复合 b • a 仍是对称。另一个群运算的例子是
- r3 • fh = fc
- 结合律的限制处理多于两个对称的复合: 给定 D4 的三个元素 a、b 和 c,有两种方式计算“a 接着 b 接着 c”。
- (a • b) • c = a • (b • c)
- 单位元是保持所有东西不变的对称 id:对于任何对称 a,进行 a 然后进行 id(或进行 id 然后进行 a)等于 a,用符号表示为
- id • a = a
- a • id = a
- 逆元素撤销某个其他元素的变换。所有对称都是可以撤销的: 恒等 id,翻转 fh、fv、fd、fc 和 180°旋转 r2 这些变换都是自身的逆元,因为把它们进行两次就把正方形变回了最初的样子。旋转 r3 和 r1 相互是逆元,因为按一个方向旋转再按另一个方向旋转相同角度保持正方形不变。用符号表示为
- fh • fh = id
- r3 • r1 = r1 • r3 = id
与上述的整数群不同的是,在整数群中运算次序是无关紧要的,而在 D4 中则是重要的:fh • r1 = fc 然而 r1 • fh = fd。换句话说,D4 不是阿贝尔群,这使得这个群的结构比上面介绍的整数群要更加复杂。
四、循环群
定义:设
例如,若G = { e, g1, g2, g3, g4, g5 }, 则G为循环的,且G于 6 的加法群:{}。
对于每一个正整数 n ,都存在唯一一个(在的意义上)为此正整数 n 的循环群,或者说,所有的 n 阶循环群都和模 n 的同余类构成的加法群Z/nZ同构。如果一个循环群的阶是无限的,那么它同构于整数关于加法构成的群。因此,循环群已被完全分类,是最简单的一种群。
每一个循环群都模n的加法群:{或整数的加法群Z。因此,要了解循环群的一般性质,只需要看这些群有什么性质就可以了。所以,循环群是最容易去学习的群,且有许多的良好性质。设G是一个n(n可能是无限的,代表同构于整数)阶的循环群,g是G中一个元素,则:
- G为交换群。这是因为g + h mod n = h + g mod n。
- 若n为有限的,则gn = e,因为 n mod n = 0。
- 若n为无限的,则恰好存在两个生成元,对Z而言,被称为1及−1,且其他同构于G的群均是无限循环群。
- 若n为有限的,则存在着恰好φ(n)个生成元,其中φ为。
- G的每一个子群都是循环群。且确实地,每一个G的 m 阶有限子群皆为模 m 的加法群{0,1,2,3,...,m−1}。而每一个G的无限子群都可以表示成mZ,同构于Z。
- Cn同构于Z/nZ(Z在nZ上的),因为Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, 3 + nZ, 4 + nZ, ..., n − 1 + nZ}
以n为模之加法的{ 0, 1, 2, 3, 4, ..., n − 1}。
- Z/nZ的生成元为和n的整数之;其生成元的数目被称为φ(n),其中φ为。
- 更一般的,若d为n的,则在Z/nZ中,阶为d的元素有φ(d)个。同余类m的目为n / (n,m)。
- 若p一,则阶为p的群都于循环群Zp。
- Zn和Zm两个循环群的是循环群n和m。故Z12(一个循环群)会是Z3和Z4的直积,而不会是Z6和Z2的直积。
- 由定义直接可知,循环群有一其型式为< x | xn >之非常简单的。
- 说明每一个都是有限多个循环群的直积。
- Zn和Z都是。若p为一质数,则Zp为一,且亦可标记为Fp或GF(p)。其他每一个具有p个元素的都与其。
- 环Zn的为和n的数。它们形成一个整数模n的乘法群;它有φ(n)个元素,记作Zn×。
例如,当n=6时有Zn× = { 1, 5},而当n=8时则有Zn× = {1,3,5,7}。
- 实际上可以证明,Zn×为循环的n为2或4或pk或2 pk,其中p为一,k≥1。这里,Zn×的每个生成元被称为。
因此,Zn×在n=6时是循环的,但在n=8时则不是,而转而会同构于。
- 对于每个质数p,群Zp×为具有p-1个元素的循环群。更一般性地,任一中的乘法群之有限都是循环的。