近似与精确——《狂人C》习题解答15(第三章习题5)

题目：从前有一个农夫，死后留下15头牛，他在遗书中写到："妻子：分给全部牛的半数再加半头；长子：分给剩下的牛的半数再加半头；次子：分给剩下的牛的半数再加半头；长女：分给最后剩下的。"编程求长女得到了几头牛。

这是一个简单的小学算术问题：
15头牛的一半是7又1/2 ，再加半头得8，这是妻子所得。剩下7头
7头牛的一半是3又1/2 ，再加半头得4，这是长子所得。剩下3头
3头牛的一半是1又1/2 ，再加半头得2，这是次子所得。剩下1头
因而长女所得为1头。

然而如果写出如下的代码，则最多只能得60分。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define ZONGSHU 15. //总数：留下15头牛
#define FENPEI_BL .5 //分配比例: 半数
#define EWAI_TJ .5 //额外添加：半头
int main( void )
{
  double qizi , zhangzi , cizi , zhangnv ; //妻子、长子、次子、长女所得
  double shengyu = ZONGSHU ; //剩余的数量

  qizi = shengyu * FENPEI_BL + EWAI_TJ ; //妻子所得
  shengyu -= qizi ; //剩余的数量

  zhangzi = shengyu * FENPEI_BL + EWAI_TJ ; //长子所得
  shengyu -= zhangzi ; //剩余的数量

  cizi = shengyu * FENPEI_BL + EWAI_TJ ; //次子所得
  shengyu -= cizi ; //剩余的数量

  zhangnv = shengyu ; //长女：分给最后剩下的
  printf("长女得到了%f头牛\n" , zhangnv ) ;

  system("PAUSE");
  return 0;
}

输出：长女得到了1.000000头牛

因为，第一，这个结果仅仅表示长女得到的牛数约等于1头；第二，代码并没有真正实现前面的算术运算过程。譬如
qizi =  shengyu * FENPEI_BL +  EWAI_TJ ;
所表示的含义仅仅是一些近似的值的一个近似运算，而非前面算术运算过程中的精确运算。因为就其本质和普遍情形来讲，实浮点类型的数据只是对实数的一个近似表示，这注定实浮点类型的运算也只是一种近似运算。只不过在本题目中，近似的精度很高，计算结果恰好和精确的结果一致而已。如果把程序视为对笔算过程的精确模拟的话，显然前面一段代码并不符合要求。
在计算机中，只有整数类型是对整数集合子集的近似表示。所以如果希望准确地模拟笔算过程就只能用整数类型。然而笔算过程涉及到了分数。在数学中，分数也是一种精确表示，然而在C语言中却并没有与之对应的“分数类型”。
没有相应的数据类型怎么办？答案很简单：没有这种类型就创造这种数据类型。为创造性提供了广阔的发挥空间是C语言的特点和魅力，也恰恰是编程的乐趣之一。
由于分数是由分子、分母两个部分组成，而分子、分母都是整数，因而可以用两个整数类型的数据来表示分数。对于这样的数据，C语言并没有提供直接的运算，这种“分数”的运算需要自己用C语言所提供的运算模拟。
例如，若计算a/b+c/d，则无法通过一次“+”运算完成，只能分两次计算出和的分子“b*c+d*c”及和的分母“a*c”。
按照这种方法得到的代码是

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define ZONGSHU_FZ 15 //总数的分子
#define ZONGSHU_FM 1 //总数的分母
#define FENPEI_BL_FZ 1 //分配比例的分子
#define FENPEI_BL_FM 2 //分配比例的分母
#define EWAI_TJ_FZ 1 //额外添加的分子
#define EWAI_TJ_FM 2 //额外添加的分母
int main( void )
{
  int qizi_fm , qizi_fz , //妻子所得的分母和分子
       zhangzi_fm , zhangzi_fz , //长子所得的分母和分子
       cizi_fm , cizi_fz , //次子所得的分母和分子
       zhangnv_fm , zhangnv_fz ; //长女所得的分母和分子
  int shengyu_fm = ZONGSHU_FM , //剩余的数量的分母
       shengyu_fz = ZONGSHU_FZ ; //剩余的数量的分子

  qizi_fz = shengyu_fz * EWAI_TJ_FM //妻子所得
           + shengyu_fm * FENPEI_BL_FM * FENPEI_BL_FZ;
  qizi_fm = shengyu_fm * FENPEI_BL_FM * EWAI_TJ_FM ;
  shengyu_fz = shengyu_fz * qizi_fm - qizi_fz * shengyu_fm ; //剩余的数量
  shengyu_fm *= qizi_fm ;

  zhangzi_fz = shengyu_fz * EWAI_TJ_FM //长子所得
              + shengyu_fm * FENPEI_BL_FM * FENPEI_BL_FZ;
  zhangzi_fm = shengyu_fm * FENPEI_BL_FM * EWAI_TJ_FM ;
  shengyu_fz = shengyu_fz * zhangzi_fm - zhangzi_fz * shengyu_fm ; //剩余的数量
  shengyu_fm *= zhangzi_fm ;

  cizi_fz = shengyu_fz * EWAI_TJ_FM //次子所得
           + shengyu_fm * FENPEI_BL_FM * FENPEI_BL_FZ;
  cizi_fm = shengyu_fm * FENPEI_BL_FM * EWAI_TJ_FM ;
  shengyu_fz = shengyu_fz * cizi_fm - cizi_fz * shengyu_fm ; //剩余的数量
  shengyu_fm *= cizi_fm ;

  zhangnv_fz = shengyu_fz ; //长女所得
  zhangnv_fm = shengyu_fm ;
  printf("长女得到了%d又%d/%d头牛\n" ,
          shengyu_fz/shengyu_fm , shengyu_fz % shengyu_fm , shengyu_fm ) ;
  system("PAUSE");
  return 0;
}

输出：长女得到了1又0/16384头牛

这是一个精确的结果。
【注：学习了控制语句和函数理论之后，后一个代码可以进一步改进。】