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★特別指出 , 首先十分的抱歉，由於「使用電腦」的知識不夠料子，未能將原論文中的數學符號貼上，唯有如此的留空，等日後學懂後再修補貼上，請潘鳳雛先生勿見怪，請捧場的朋友多多包涵.★
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性質： 類自然數幻方。
作者：潘鳳雛。
來稿時間：2016年1月6日傍晚5:33分。
張貼本博客的時間：2016年1月9日。
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用镶框法构造偶阶类自然数幻方
无明
（西藏自治区地质调查院，拉萨，850000）
摘要：本文利用均匀概念及模块法（镶框法）给出偶阶类自然数幻方的统一构作.
关键词：类自然数 幻方 均匀 模块法 镶框法 构造
1．前言
据作者所知，类自然数幻方的概念首先由万树军先生提出[1].2015年，万树军先后两次出奖征集有关类自然数幻方问题的解答[2].在万先生和中国幻方同仁的大力推动下，类自然数幻方的研究取得了许多重要的成果[3].本文在前人工作的基础上，利用均匀概念及模块法（镶框法）给出偶阶类自然数幻方的统一构造.为方便以后的研究，先给出若干概念.
约定m,n为正整数，a,b,k为整数且以[a,b]表示集合.记为.记整数集S的元素绝对值所成之集（称为S的绝对值集）为.若k为非负整数，则约定
.
定义1.1 若S为m元整数集且 ，则称S为m元类自然数集，简称类自然数集.
定义1.2 称元素个数为偶数的整数集合为均匀的或均匀集，如果其中正数和负数的个数相同.
定义1.3 称元类自然数集上的广义幻方为类自然数幻方.称偶阶类自然数幻方为均匀的，如果每条模线（行、列、对角线）上的元素的集合为均匀集.
定义1.4 称mn元类自然数集上的广义幻矩为类自然数幻矩.称偶阶类自然数幻矩为均匀的，如果每行每列上的元素的集合为均匀集.
本文的主要目的是证明
定理1.1设为偶数，则存在均匀类自然数幻方.
2．预备定理
显然，如下两个定理成立：
定理2.1 设a为整数，k为非负整数，则.
定理2.2 设S为整数集，k为非负整数， ，则.当S为m元类自然数集时，则.
定理2.3 设S为不含0的m元均匀集且其元素之和为s，再设k为非负整数，则集合为元素之和为s的m元均匀集.
证：由于k为非负整数，故由正整数构成，而由负整数构成.同时，当时若有，则必须要求，这就说明T为m元集合且和的势相等.再直接计算有
+.
因此，结论成立. ■
定义2.1 设为整数矩阵，k为非负整数，则记矩阵为.
定理2.4 设为幻和s的均匀类自然数幻方，k为非负整数，则为幻和s的广义幻方.
证：由于A的每条模线上的元素集均为和为s的均匀集，故由定理2.3知，的每条模线上的元素集也为和为s的均匀集. ■
推论2.1设为均匀类自然数幻矩，k为非负整数，则为均匀广义幻矩.
定理2.5 存在4阶均匀类自然数幻方.
证：不难验证下面3个矩阵
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-7 |
2 |
均是幻和为2的四阶均匀类自然数幻方. ■
注2.1 实际上可以证明，幻和为2的四阶均匀类自然数幻方的总数为6784个，其中
同构者为212个；而幻和为2的四阶类自然数幻方的总数为11136，其中
同构者为348个. 进一步可以证明，四阶类自然数幻方的总数为457408，其中
同构者为14294个.当然，如果把四阶类自然数幻方与看成是同构的，则
同构的四阶类自然数幻方的个数为7147，每一个可以通过简单的变换化为包括自身在内的64个类自然数幻方.
定理2.6 存在行和为2且列和为1的均匀类自然数幻矩.
证：下面矩阵
就是满足要求的幻矩. ■
定理2.7 设S为m元类自然数集，T为n元类自然数集合，k为非负整数，整数集，则.
证：由定理2.2有. ■
定理2.8 存在行和为2n且列和为1的均匀类自然数幻矩.
证：设G由定理2.4确定，则为行和为2列和为1的均匀幻矩，而均匀矩阵
的行和为2n且列和为1.显然，的元素集为. ■
定义2.2 设，若整数矩阵的中心阶子阵元素全为0且除首行、末行与首列、末列的元素之和为之外其余模线上元素之和为d，则称其为m阶d型幻框；若幻框边部个数的集合为类自然数集，则称其为d型类自然数幻框.若首行、末行与首列、末列的元素之集为均匀集，则称幻框为均匀的.
定理2.9 存在4阶和6阶1型均匀类自然数幻框.
证：不难验证下面的矩阵
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2 |
就是满足要求的矩阵. ■
注2.2 可以证明，
同构的4阶1型均匀类自然数幻框只有1个，而
同构的6阶1型均匀类自然数幻框则有70个.
定理2.10设为偶数，则存在m阶1型均匀类自然数幻框.
证：设为1型均匀类自然数幻框，则当m为4或6时，由定理2.9知道结论成立.，而的形式如下：
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其中，空白处的元素为0.设，其中S为A的边部个元素所成之集，，.那么，由定义1.1和定理2.2知，，，.因此，.这说明B的边部所有元素之集为类自然数集.由于S，G和H均为均匀集，故W为均匀集.直接验算知矩阵B除首行、末行与首列、末列的元素之和为之外其余模线上元素之和为1.综合上述结果，结论得证. ■
3．主要结果的证明
定理1.1的证明：用数学归纳法.由定理2.5及注2.1知时结论成立.下设为偶数，为幻和的均匀类自然数幻方，则由定理2.10知存在阶1型均匀类自然数幻框，令且
，
则C是幻和为的均匀类自然数幻方.设B的元素之集合为S，的边部元素之集为T，C的元素之集合为W，则由定义1.1和定理2.2得，，.因此，C的元素之集为类自然数集.由和B的性质知，C的每条模线上的元素之和为.由于和B均为均匀的，故C也是均匀的.综合上述结果，由数学归纳法知结论成立. ■
定理3.1 设为偶数，为幻和为2的四阶均匀类自然数幻方，分别为阶1型均匀类自然数幻框，，再设为的全排列，令
()，()，，
再令
，
则是幻和为的均匀类自然数幻方.
证：由定理2.4及推论2.1知，为幻和为2的四阶均匀广义幻方，分别为阶1型均匀广义幻框，因此，为幻和为的阶均匀广义幻方（）.下令，则由定理2.2知，，有，即有
.
由于，故
.
至此，就证明了的元素集合为类自然数集. ■
定理3.1表明，在幻和为2的四阶类自然数幻方及阶1型均匀类自然数幻框确定的情况下，共有种构成阶同心均匀类自然数幻方的方式.
4．例子
下面的16阶类自然数同心幻方具有金蝉脱壳性质，即同时包含4，6，8，10，12，14，16等7个均匀类自然数幻方：
参考文献
[1] 万树军.類自然數(1)，http://blog.chinaunix.net/uid/20489909-id-4574077.html.
[2] 万树军.風雲色變的48天，http://blog.chinaunix.net/uid/20489909-id-5003433.html.
[3] 万树军.李紹祥(黑龍江)的作品，http://blog.chinaunix.net/uid/20489909-id-5579093.html.
（写作时间：开始于2015年12月31日，结束于2016年1月6日）
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類自然數(1)；
http://m.blog.chinaunix.net/uid-20489909-id-4574077.html
風雲色變的48天；
http://m.blog.chinaunix.net/uid-20489909-id-5003433.html
李紹祥(黑龍江)的作品；
http://m.blog.chinaunix.net/uid-20489909-id-5579093.html